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\begin{document}


C) COMPL\'{E}MENTS D'ALGEBRE LINEAIRE

\bigskip I) PROJECTEURS ET INVOLUTIONS.

\qquad 1) Projecteurs.

DEF : un \textit{projecteur} d'un espace vectoriel $E$ est un endomorphisme 
\'{e}gal \`{a} son carr\'{e} : 
\begin{equation*}
p\;\text{projecteur de }E\Leftrightarrow \left\{ 
\begin{array}{l}
p\in L\left( E\right) \\ 
p^{2}(=p\circ p)=p%
\end{array}%
\right.
\end{equation*}

\bigskip Les projections vectorielles d\'{e}finies pr\'{e}c\'{e}demment sont 
\'{e}videmment des projecteurs ; mais la r\'{e}ciproque est vraie :

PROP : Tout projecteur $p$ de l'espace vectoriel $E$ est une projection de
base $\func{Im}p=\ker \left( p-id_{E}\right) $ et de direction $\ker p=\func{%
Im}\left( p-id_{E}\right) .$

D1

\bigskip

Les mots ''projecteur'' ou ''projection (vectorielle)'' peuvent donc \^{e}%
tre employ\'{e}s de mani\`{e}re \'{e}quivalente.

\bigskip

\qquad 2) Involutions lin\'{e}aires.

\bigskip

DEF : une application d'un ensemble $E$ dans lui-m\^{e}me est dite \textit{%
involutive} si son carr\'{e} est \'{e}gal \`{a} l'application identit\'{e} ;
une application involutive est apel\'{e}e une \textit{involution} :

\begin{equation*}
s\;\text{involution de }E\Leftrightarrow \left\{ 
\begin{array}{l}
s\in E^{E} \\ 
s^{2}=id_{E}%
\end{array}
\right.
\end{equation*}

Les sym\'{e}tries vectorielles d\'{e}finies pr\'{e}c\'{e}demment sont \'{e}%
videmment des involutions lin\'{e}aires (ou, ce qui revient au m\^{e}me, des
endomorphismes involutifs) ; mais la r\'{e}ciproque est vraie :

PROP : Tout involution lin\'{e}aire $s$ de l'espace vectoriel $E$ est une sym%
\'{e}trie de base $\ker \left( s-id_{E}\right) =\func{Im}\left(
s+id_{E}\right) $ (ensemble des vecteurs invariants) et de direction $\ker
\left( s+id_{E}\right) =\func{Im}\left( s-id_{E}\right) $ (ensemble des
vecteurs anti-invariants).

D2

\bigskip

Les mots ''sym\'{e}trie (vectorielle)'' ou ''involution lin\'{e}aire''
peuvent donc \^{e}tre employ\'{e}s de mani\`{e}re \'{e}quivalente (mais le
premier est plus court !).

\bigskip

REM : les projecteurs et les sym\'{e}tries sont reli\'{e}s par les relations
: 
\begin{equation*}
\begin{tabular}{|l|}
\hline
$s\;$sym\'{e}trie\ $\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\left( s+id_{E}\right) \;$%
projecteur \\ \hline
$p\;$projecteur $\Leftrightarrow 2p-id_{E\;}$sym\'{e}trie \\ \hline
\end{tabular}%
\end{equation*}

D3

\bigskip

Exemples \`{a} bien conna\^{\i}tre :

\qquad - l'application $S$ de $K^{K}$ dans lui-m\^{e}me qui \`{a} $f$ fait
correspondre $S\left( f\right) $ d\'{e}finie sur $I$ par $\left( S\left(
f\right) \right) \left( x\right) =f\left( -x\right) $ est une sym\'{e}trie
de base l'espace des fonctions ............ et de direction l'espace des
fonctions ...........

\qquad - l'application $T$ de $M_{n}\left( K\right) $ dans lui-m\^{e}me qui 
\`{a} toute matrice fait correspondre sa transpos\'{e}e est une sym\'{e}trie
de base l'espace des matrices ........... et de direction l'espace des
matrices ..................

E1

\qquad

II) FORMES LIN\'{E}AIRES.

DEF : $E$ $K-$espace vectoriel ; une \textit{forme lin\'{e}aire }sur $E$ est
une application lin\'{e}aire de $E$ vers $K.$

L'ensemble des formes lin\'{e}aires sur $E$ est parfois not\'{e} $E^{\ast }$
plut\^{o}t que $L\left( E,K\right) .$

\bigskip Exemples : E2

PROP : si $E$ est de dimension finie $n,$ $L\left( E,K\right) $ est aussi de
dimension $n$ et est donc isomorphe \`{a} $E.$

D4

PROP : une forme lin\'{e}aire sur $E$ non nulle est surjective et son noyau
est un hyperplan de $E.$

R\'{e}ciproquement, tout hyperplan est le noyau d'une forme lin\'{e}aire non
nulle.

D5

PROP : $f$ est une forme lin\'{e}aire sur $K^{n}$ ss'il existe $%
a_{1},a_{2},...,a_{n}$ dans $K$ tels que 
\begin{equation*}
f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+...+a_{n}x_{n}
\end{equation*}

et $\left[ a_{1},a_{2},...,a_{n}\right] $ n'est autre que la matrice
canonique de $f.$

D6

\bigskip

III) MATRICES CARR\'{E}ES SEMBLABLES.

DEF : deux matrices carr\'{e}es sont dites \textit{semblables} si ce sont
les matrices du m\^{e}me endomorphisme (en prenant les m\^{e}mes bases pour
le d\'{e}part et l'arriv\'{e}e).

Autrement dit, si $A$ et $A^{\prime }$ $\in M_{n}\left( K\right) ,$ $A$ et $%
A^{\prime }$ sont semblables s'il existe $E$ de dimension $n,$ $f\in L(E),$ $%
\mathcal{B}$ et $\mathcal{B}^{\prime }$ bases de $E,$ tels que $A$ $=$mat$_{%
\mathcal{B}}\left( f\right) $ et $A^{\prime }=$mat$_{\mathcal{B}^{\prime
}}\left( f\right) .$

PROP : $A$ et $A^{\prime }$ sont semblables (parfois not\'{e} $A\sim
A^{\prime })\Longleftrightarrow \exists P\in GL_{n}\left( K\right)
\;/\;A^{\prime }=P^{-1}AP.$

\bigskip D7

PROP : semblables $\Rightarrow $ \'{e}quivalentes (donc de m\^{e}mes rangs)
MAIS LA R\'{E}CIPROQUE EST FAUSSE.

D8

Exemples : E2

\bigskip

Quelques propri\'{e}t\'{e}s :

\qquad * la relation de similitude des matrices est une relation d'\'{e}%
quivalence.

\qquad * $A\sim A^{\prime }$ et $Q\in K[X]\Rightarrow Q\left( A\right) \sim
Q\left( A^{\prime }\right) $

\qquad * $A\sim A^{\prime }$ et $A$ inversible $\Rightarrow $ $A^{\prime }$
inversible et $A^{-1}\sim A^{\prime -1}$

\qquad * $A\sim A^{\prime }$ implique tr$\left( A\right) =$tr$\left(
A^{\prime }\right) ,$ r\'{e}ciproque fausse.

D9

\bigskip

IV) SOMMES DIRECTES DE PLUSIEURS SOUS-ESPACES.

\bigskip

DEF : soient  $F_{1},...,F_{p}$ $p$ sous-espaces vectoriels de $E$ ; on dit
que les $F_{i}$ sont \textit{en somme directe} (ou qu'ils sont \textit{%
globalement ind\'{e}pendants}) si chacun est en somme directe avec la somme
des $p-1$ autres, autrement dit, 
\begin{equation*}
\forall i\;\;F_{i}\cap \underset{j\neq i}{\sum }F_{j}=\{\overrightarrow{0_{E}%
}\}
\end{equation*}

La somme $F_{1}+...+F_{p}$ est alors not\'{e}e $F_{1}\oplus ...\oplus F_{p}$
ou $\underset{1\leqslant i\leqslant n}{\oplus }F_{i}.$

\bigskip

REM : cette d\'{e}finition concorde bien avec le cas $p=2.$

CNS1 : les $F_{i}$ sont en somme directe $\Leftrightarrow $%
\begin{equation*}
\forall (\overrightarrow{x}_{1},...,\overrightarrow{x}_{p})\in F_{1}\times
...\times F_{p}\;\;\;\overrightarrow{x}_{1}+...+\overrightarrow{x}_{p}=%
\overrightarrow{0}\Rightarrow \overrightarrow{x}_{i}=\overrightarrow{0}%
\;\;\forall i
\end{equation*}

D10

Dont on d\'{e}duit la CNS2 : (principe d'identification) :

les $F_{i}$ sont en somme directe $\Leftrightarrow $%
\begin{equation*}
\forall (\overrightarrow{x}_{1},...,\overrightarrow{x}_{p}),(\overrightarrow{%
y}_{1},...,\overrightarrow{y}_{p})\in F_{1}\times ...\times F_{p}\;\;\;%
\overrightarrow{x}_{1}+...+\overrightarrow{x}_{p}=\overrightarrow{y}_{1}+...+%
\overrightarrow{y}_{p}\Rightarrow \overrightarrow{x}_{i}=\overrightarrow{y}%
\;\;\forall i
\end{equation*}

Cette CNS \'{e}quivaut a la

CNS3 (unicit\'{e} de la d\'{e}composition) : les $F_{i}$ sont en somme
directe $\Leftrightarrow $%
\begin{equation*}
\forall \overrightarrow{y}\in F_{1}+...+F_{p}\;\;\exists !(\overrightarrow{x}%
_{1},...,\overrightarrow{x}_{p})\in F_{1}\times ...\times F_{p}\;\;/\;%
\overrightarrow{y}=\overrightarrow{x}_{1}+...+\overrightarrow{x}_{p}
\end{equation*}

\bigskip D11

PROP : en dimension finie, $\dim \left( F_{1}\oplus ...\oplus F_{p}\right)
=\dim F_{1}+...+\dim F_{p}.$

D12

ATTENTION \`{A} LA CROYANCE FAUSSE TR\`{E}S R\'{E}PANDUE QU'UNE SOMME EST
DIRECTE QUAND L'INTERSECTION DES SOUS-ESPACES EST R\'{E}DUITE \`{A} Z\'{E}RO.

Par exemple trois droites dans un plan peuvent tr\`{e}s bien \^{e}tre
d'intersection nulle, mais leur somme ne peut \^{e}tre directe.

Ce m\^{e}me exemple montre que m\^{e}me si les sous-espaces sont deux \`{a}
deux d'intersection nulle, la somme n'est pas forc\'{e}ment directe
(autrement dit l'ind\'{e}pendance deux \`{a} deux n'implique pas l'ind\'{e}%
pendance globale).

\bigskip 

REM : il ya une CNS4 qui montre le lien avec les familles libres :

les $F_{i}$ sont en somme directe $\Leftrightarrow $%
\begin{equation*}
\forall (\overrightarrow{x}_{1},...,\overrightarrow{x}_{p})\in
F_{1}\backslash \left\{ \overrightarrow{0}\right\} \times ...\times
F_{p}\backslash \left\{ \overrightarrow{0}\right\} \;\;(\overrightarrow{x}%
_{1},...,\overrightarrow{x}_{p})\text{ est libre}
\end{equation*}

\bigskip

V) RETOUR SUR LES SYST\`{E}MES LIN\'{E}AIRES

Le syst\`{e}me $(S)$ : $\left\{ \underset{j=1}{\overset{p}{\dsum }}%
a_{ij}x_{j}=b_{i},\;\;i=1,...,n\right. $ peut s'\'{e}crire matriciellement
sous la forme $AX=B,$ avec 
\begin{equation*}
A=\left( a_{ij}\right) =\left[ 
\begin{array}{cccc}
a_{11} & . & . & a_{1p} \\ 
. &  &  & . \\ 
. &  &  & . \\ 
a_{n1} & . & . & a_{np}%
\end{array}
\right] ,X=\left[ 
\begin{array}{c}
x_{1} \\ 
\\ 
\\ 
x_{p}%
\end{array}
\right] ,B=\left[ 
\begin{array}{c}
b_{1} \\ 
\\ 
\\ 
b_{n}%
\end{array}
\right]
\end{equation*}

Si donc $f_{A}$ est l'application lin\'{e}aire canonique associ\'{e}e \`{a} $%
A$ (de $M_{p,1}\left( K\right) \approx K^{p}$ vers $M_{n,1}\left( K\right)
\approx K^{n}),$ l'ensemble des solutions de $(S)$ n'est autre que $%
f_{A}^{-1}\left( B\right) $ et l'ensemble des solutions du syst\`{e}me homog%
\`{e}ne associ\'{e} est $\ker f_{A}.$

\bigskip DEF : le rang $r$ du syst\`{e}me est le rang de $A$ (donc de $%
f_{A}).$

PROP\ : Si $B\notin \func{Im}f_{A}$ le syst\`{e}me est incompatible, sinon,
l'ensemble des solutions $S$ est un translat\'{e} de $\ker f_{A}.$

\bigskip Sa dimension est l'ordre de l'ind\'{e}termination ; elle vaut $p-r$
(th\'{e}or\`{e}me du rang).

D13

PROP : le rang qui avait \'{e}t\'{e} d\'{e}fini au d\'{e}but du cours d'alg%
\`{e}bre lin\'{e}aire par le nombre d'\'{e}quations principales est bien le
rang d\'{e}fini ci-dessus.

D14

\bigskip

Remarque : on adopte pour les \'{e}quations du syst\`{e}me le vocabulaire
(ind\'{e}pendance, libert\'{e}) correspondant aux lignes de la matrice.

Par exemple, un syst\`{e}me de Cramer est un syst\`{e}me carr\'{e} dont les 
\'{e}quations sont ind\'{e}pendantes.

\end{document}
